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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 _~jpcwP'r  
etoF+;]  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. l9u(CN  
~Nvh#  
　　1、三角函数本质： e6GTau  
-|G'.w5  
　　三角函数的本质来源于定义 ?5aVq_l{53  
):U!1lS7&  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 5v}TM 8U2  
Le:lc-  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 2% V)4k~  
'Herw(>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： =^s|3x  
!3 H)v9f  
　　推导： ,){5Z0z@G  
tEkb>B  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 rxpO(E]  
0qxrAxBE  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @@9R+o~/  
@7:SP  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) A3Y-R9  
`>e_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2  6 $Y(K  
W-!g]~9  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） /i\.y@ 5  
9rm?x  
　　[1] En-n\c>#  
!7|Mo  
　　两角和公式 }sx5R@   
{n+`|'UPq  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB i0{x(8zF:  
hWR,[k4<4<  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  o,@iBTe  
+|PW*|<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB x+2 LGk$)1  
8abY y^u5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Bt.:WR3cC  
b5Uad2 Z  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) h%a3::  
iQNtI <^1  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) R3bs%";  
xeA(L#  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  5984|,   
b\p &g Gt  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) R~nl-BirN  
9z[goA"v  
倍角公式 UxQPSi R  
!C+mJ2w=  
　　Sin2A=2SinA•CosA ~bdx ^EIv  
\1o>_;  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 :|e+n$  
[G\@h  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） : wV<zl  
$J{jLmt  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） E+O=`MHYt  
7zIei5L  
三倍角公式 G-TY4LS'  
C1pBzkK"4?  
　　 7=W63`d  
0"q8qr?  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 1{WW   
$7(0tB.)~  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ?i1$HE^  
FsU8`uFz  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) z@- nJI'  
Dg:j80  
三倍角公式推导 b,><M?FW)f  
#m>=37I   
　　sin3a 8t%:0e>  
'= (u.sb  
　　=sin(2a+a) B=t8V>Epn  
Z1e ^,b  
　　=sin2acosa+cos2asina S, p*d<  
iO+J x  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina { EsAgRs  
KYZQBGpkp  
　　=3sina-4sin³a >hS?fMF  
EI@Ce` 1  
　　cos3a $?aB g_  
EJyyZS A  
　　=cos(2a+a) i (%}.  
@&m73YM_  
　　=cos2acosa-sin2asina sI]Q4@i  
B F:l.,  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa D7a/B %'  
)`fDbU]l=  
　　=4cos³a-3cosa Io)UEh;D[  
sk`!.L  
　　sin3a=3sina-4sin³a tH;    
G-yk`gnim  
　　=4sina(3/4-sin²a) M_1& nh  
NmOn8gp;  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Y'.ZT~P,e|  
[8*QLs  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) lp3$C~E$  
o1X}={'R5  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) <C7xCvx0V  
uJfjA3gb  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] tN-'@-l  
Ks#T:#?R}6  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Y%VY1%;='  
pa`+zUM  
　　cos3a=4cos³a-3cosa J4f~7kf"l  
x6pv86  
　　=4cosa(cos²a-3/4) S=qHK>1_Qp  
q_/Y)e(  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ^M% qQN}  
6{%XO  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) &': rHC  
FJtCH Iyx  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) J &D#'L  
6RaS-U  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} _U=L8  
W!\N [  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) "{T]V3-  
yFy3='*.  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] IQ^}yt[t  
t`eZ'x9g8  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] BqQR2YA  
d6=AxHT{  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) evAMe^@z}  
)M5NeR6<^  
　　上述两式相比可得 @~ feMw;  
~5:r~3y y.  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) S,^t%;0%O  
N|[m-%C#R  
半角公式 d\']\&j}  
7Q] [\9NI  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); G i>FbA  
]Z;eovxK@  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. FE<`CI Zn  
@ 'V(A_  
和差化积 Wh^\27b,2  
;v==yG]9  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X GZQWH  
runj>V:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] i_3zDU UZx  
B < zaa  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]~]S>oaYAv  
!B*aZqS  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 0>;ux`  
} ,)KaT  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) *UD_Dd-^  
`}Jr 1o  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) wM8 ]U  
+.h*k"B  
积化和差 BgKz5q<  
N{kbsS0U,  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] lB;nE'Rju  
R]^,,;T  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] voUo\ Rr  
ZO<"KYR  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 7I{-8&|;M  
ZqqOI@h  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] R$UzvuF_  
6!3MyB#u  
诱导公式 HD=t!-<\]  
gcTz=U4xn  
　　sin(-α) = -sinα 0cxc!dB  
8)&+WqF  
　　cos(-α) = cosα Tg?aAI\t  
Ki]ri  
　　sin(π/2-α) = cosα {n$7K  
Mgu@[4$D  
　　cos(π/2-α) = sinα 8&h~Ik  
7s!,%boQ3  
　　sin(π/2+α) = cosα cU_*k':zC  
t 1<Xmt7  
　　cos(π/2+α) = -sinα ZpqX`[wNj  
T xSFNT B  
　　sin(π-α) = sinα v2eTP?hs)  
QH0aF  
　　cos(π-α) = -cosα \.R5ne:  
3:Xt?G>0f  
　　sin(π+α) = -sinα c%7X2zx^y  
c=< M:O37  
　　cos(π+α) = -cosα u>+`RNXZ;.  
4q/,<jf%  
　　tanA= sinA/cosA zN.f2~yv  
Euk'\XT  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ?y r$2RlO  
~3hi{~V   
　　tan（π/2－α）＝cotα 0hF_ .  
1A N/Hz6m  
　　tan（π－α）＝－tanα ,{>B  
NWo~#4  
　　tan（π＋α）＝tanα @BG0;  
/h[V==<s`  
万能公式 V|gypEO  
L#[nF%A  
　　 dc'dY  
4QvE6&ZdG  
其它公式 r-B7xgF*  
8V=7;  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ] ~9{\mdz1  
ch]{>t\$@  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 E|-wMPc  
0I|d No7  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ^>Mpkiu  
p1|r 8>T  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 v DsZ-#  
:S_%9rSH  
　　对于任意非直角三角形,总有 6 wxi]R  
L"X r)[Zu  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [<Ln HV  
i_-8&~4  
　　证: 2KTx9)."*  
F`bxy`yEY  
　　A+B=π-C < 1BJO  
p|*ktPl  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Ybye8<K]  
q ?wU  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) >".,{w{9  
<bP @xa  
　　整理可得 )IEM5Rj  
NK#8[/[9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9a&,qix  
6Kt>YjDi]H  
　　得证 ~)vspb  
m)N<-v<  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 yNh>?CL)s  
K}zR("&  
其他非重点三角函数 a1;'0G  
RSY"t%;n  
　　csc(a) = 1/sin(a) c|~*;7%|  
>)<y 'sD  
　　sec(a) = 1/cos(a) S(s; X 9`  
&~-o_.Nx  
　　 {FshOs  
1Eo}"Iu  
双曲函数 MNKSX8K  
j*i$q{<#  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 |zcyb[.  
}#*>P<e9  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 4q%`CM+'n  
xfMQW6L#  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) HL:}Sg,  
5iV$z 0S"  
　　公式一： a&] ]1MT  
LQmT@4b)F  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ()51Q%AT  
9@OV|  
　　sin（2kπ＋α）= sinα KDd -  
Xbf~}Yaq\  
　　cos（2kπ＋α）= cosα <& RO  
JV0v'*J<  
　　tan（kπ＋α）= tanα \g%+&:1+  
g@DyT%^y  
　　cot（kπ＋α）= cotα 0oa3fW2%  
GEb9U0fY  
　　公式二： aHax8!fY  
5j"{pU2  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： BD\S6cKzz  
2[m "W_  
　　sin（π＋α）= -sinα pSE7HEu<  
x I* d/=  
　　cos（π＋α）= -cosα :BNx`iM  
jTQbu>'X  
　　tan（π＋α）= tanα /4EXe27L  
fGG~+C/9  
　　cot（π＋α）= cotα ;m4h0SBi  
Ro1b)MBH  
　　公式三： H*~fx'h4d  
b ^uK-  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： o!?YiUob/  
$5;O8N:  
　　sin（-α）= -sinα \U~7-7p  
] E,e0  
　　cos（-α）= cosα v$Ex`H 0  
.7&j+unNc  
　　tan（-α）= -tanα @%;otvIz  
z tc>V'm  
　　cot（-α）= -cotα : \\ZOrTk  
{m'#ZHPR?A  
　　公式四： w J$K;Fh:/  
"p,73[  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： s'\aI;x >  
k<hG@u@(  
　　sin（π-α）= sinα 8ltdzpr  
vf|^oE  
　　cos（π-α）= -cosα *V$`9nGU9  
3L\y>  
　　tan（π-α）= -tanα A&\KP[+]R  
|&\8T  
　　cot（π-α）= -cotα <W4}xtu{  
mb-a1Of4  
　　公式五： D 1b]:;  
}&pooow}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： K[0Uk4Op  
%*p0 pT/  
　　sin（2π-α）= -sinα E"Q{`@}  
H/H?e6  
　　cos（2π-α）= cosα 7l ULV;3  
IQ0om | |  
　　tan（2π-α）= -tanα udj@ mC$F  
i|!\<%z9"  
　　cot（2π-α）= -cotα T! ~Bg c  
H(5f 12e  
　　公式六： 7 duF l  
=M[AUFX8  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： BYIS jjM D  
B\&>*bC  
　　sin（π/2+α）= cosα ih_B. !::  
\baNOXf  
　　cos（π/2+α）= -sinα X`C&iv  
P{ y2x6}  
　　tan（π/2+α）= -cotα ) }c,P:ig  
,iz-b}r  
　　cot（π/2+α）= -tanα -_{s!XT}  
V}V:Z2_t5  
　　sin（π/2-α）= cosα wD\-fA  
YM^/V_in:  
　　cos（π/2-α）= sinα v?FQ)wpD  
 5AxR9s  
　　tan（π/2-α）= cotα :9]%O66  
hcs,zi"n  
　　cot（π/2-α）= tanα 7z?8AKk  
G5r=<  
　　sin（3π/2+α）= -cosα M^A"HD\)  
;W|ib]?  
　　cos（3π/2+α）= sinα bLZ; M  
+ .-7#S  
　　tan（3π/2+α）= -cotα pSjD,!{  
Pa\9NRQwL  
　　cot（3π/2+α）= -tanα RB,8F$;U  
e9\I?$uj  
　　sin（3π/2-α）= -cosα HAmm@i  
!oT=M!e I,  
　　cos（3π/2-α）= -sinα jazu.e&  
N\ $oU^  
　　tan（3π/2-α）= cotα 8SG<J%+-h  
)f>/fkv7  
　　cot（3π/2-α）= tanα Qbm!1M!cT  
Yf`/0d)t  
　　(以上k∈Z) |wzWKGhXq~  
c[T-m*N  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Yy?Yptp  
L4=3yBbtY  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = B\w~D\S>  
H=F}_ z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } <2v41ja-  
xzC-!=  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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