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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 fqUcW Y[F  
'jQC4BZx  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. {,lS=  
Xe(n`  
　　1、三角函数本质： JOzTa<*vrN  
| {|Th7  
　　三角函数的本质来源于定义 ?uIXB)|  
{ielk.KF=  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 /Qf~(o  
cnp,]g/{K?  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 [tYyOsk  
Ot =#kU  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： |Jmd&#:  
WxUtG  
　　推导： G84io5^f  
r7*4 dPT/  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 SyaQ>   
c:H{)+8z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) a&Beb  
!up&G+$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 28W"v.'x6  
H'MR(|jE3  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 zR&z8DCke  
/\9Qz7jq  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） $A BE"w\i  
m W\,(K  
　　[1] /y6{ (0C(  
-YM? 2f  
　　两角和公式 m^!} XGV  
CiL 'JW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sj;m"I  
xdRtQz/v1  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  -EE:! >{  
tMbsu5b  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 1_ux,>22$  
?*~f#nYjk  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB !2G|u,\'  
`hS4Rw  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) [ A:+:{$  
(.$7l,ikE  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) c]Dw@,4  
3 \i0'  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  d^*o.Bq S  
1%4d_ nKE  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) DyT bIp.  
jpx'td'l  
倍角公式 d2qslj1  
mR]EMuD  
　　Sin2A=2SinA•CosA |"|(2?]">@  
%nh(;Cgz\  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }.1/  
2cpN,j  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） GX# $II  
6jri=ue  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） b]aiI+ 5$-  
[u~27I%C  
三倍角公式 !3\5Z?7UT  
-@!m#He>  
　　 @2"2Km  
ne&5+P4#  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ~h?'*kp;U  
gP >Gz-  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) x yOHtF@0l  
d'aeJt}  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) g)zT [  
1tw;o%Jk{  
三倍角公式推导 ytn,M G  
G9^T &/*  
　　sin3a ul2vt37;'A  
!*sU3WIL  
　　=sin(2a+a) 5eOu?  
KJdzbUh>N6  
　　=sin2acosa+cos2asina U8y0$B  
*|Q<$M2a{  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Skwl+2 #  
iJ#q Rw,e  
　　=3sina-4sin³a "Xt_'Nq  
1^}   
　　cos3a C2>l\8~  
>EaWf7{H  
　　=cos(2a+a) Gb[q{=-J:  
s.W1U}Q3  
　　=cos2acosa-sin2asina g_RsR8\l  
m]>3t tU  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa U`X]1s*  
2j5C4E%_X-  
　　=4cos³a-3cosa |$ajFQ#  
?"'*s [{  
　　sin3a=3sina-4sin³a SOb>epMZ9  
~fd`m!7qq  
　　=4sina(3/4-sin²a) s`i::3.|  
o1P!ZBniC  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] d}K$x%adF  
+"hz!RA%K  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (m zmK bLg  
c7QI m  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) X!]w0vy>\  
!\7\yrLD  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #Djb{Ko(  
+!e VV:z  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?%Y f7LSV  
,.j_S1  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Z-Gs=.JRx  
XZQV@3tU  
　　=4cosa(cos²a-3/4) qq)j\!<S  
}2PG){R#?W  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] <_p|\`#  
3v2%Jw#4  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) hLLnODl  
^Mt 3; 9  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) bkcn&A#Iy  
L "a e  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ]mRx<v*  
~-W#~  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) _@u.R?  
[qgZt]B69  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] XWedj'~W  
d9=\sB|3  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Vd:hrm$  
%&V?d  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ,f9OmM[^6B  
e1Bt)?r  
　　上述两式相比可得 SPTF$T]  
+lG=92nW  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) x`F#] Y;  
~[R8'`?>mu  
半角公式 d9rW/9WW+_  
M[0x$   
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); M4Ne#k@l.B  
K=D}Ag0  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. -rrey}8\ts  
=|d]o&  
和差化积 '`^Z7P~:v  
>V\z>h{C  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lu}{neHZ  
80Q>pmzc  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 7\N/$+D1L  
$wp4\#j,"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ufbFSV*B6  
SC/FxK@ !%  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g!MFA,9  
)8JRC 2!  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) q/m{y'w  
,K "iL  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) <Y"89u.JW  
BA G2f  
积化和差 4aSb$4{a  
`Ns*(]$  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 'cs"7_H  
^IrhVQ-  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] x37vS)[  
~,<t nO  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] qRQ8E  
ZIA:Q@  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ;/p[Uo'k   
7e2p,f`  
诱导公式 =1{$)@Gd  
%TP.&g?9  
　　sin(-α) = -sinα %zvE2/  
op (r$q  
　　cos(-α) = cosα GmYX  $  
*4^%?/15~  
　　sin(π/2-α) = cosα H,c*L}:  
]/<p]X  
　　cos(π/2-α) = sinα au CuX  
~?Kz+[|o{  
　　sin(π/2+α) = cosα 9go@9r)GMc  
bnk0I$o  
　　cos(π/2+α) = -sinα GPW".2w  
rL<tyqYF  
　　sin(π-α) = sinα G%o<X  
rcH 9!\  
　　cos(π-α) = -cosα \&ec(2Fe  
"MS m0  
　　sin(π+α) = -sinα 6n[S{ y!  
k?/oF`W<  
　　cos(π+α) = -cosα rL_$2Vxf  
U]n3o$aid  
　　tanA= sinA/cosA B@Ny3Y5]9  
]X"+d  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 8e0_J  
fhp,:7)zc  
　　tan（π/2－α）＝cotα x PI"g#W`Q  
2xS!#[u9  
　　tan（π－α）＝－tanα o@"_)8-  
iZU 3k'vB  
　　tan（π＋α）＝tanα o~$|V^X#'4  
j+ "XL#  
万能公式 0l~]Y0f  
|lWPLe]@9!  
　　 tv? soG~[q  
k*CG#E|d  
其它公式 ,y<]`0mn ?  
7C:kVMmP  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 @n5&l-3x  
#v@96%Z  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 afB".hX  
Vb{F6 Jy_  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 -xyw;}   
d?5)Tp  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 vtR>A+p/{  
nu- >#t_l  
　　对于任意非直角三角形,总有 A,p"o.Z/  
eV ~91~dp  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =^ r3H9  
s& +L]`  
　　证: q{\O%;##t  
!AU1LWx  
　　A+B=π-C #UZ18G\  
7<@9<X{3R  
　　tan(A+B)=tan(π-C) OCP!.)>F  
|/-+<R,  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) a~)  
0< ZvxOf!  
　　整理可得 `9f:  
*p/t:)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \]=6iI2  
G,W ^=v  
　　得证 !fbsl}  
salY !RT  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !>+8ir`  
`woiR  
其他非重点三角函数 (XZuUY. ]  
q/H2q@ s  
　　csc(a) = 1/sin(a) TT=kPuY  
RUVm>w  
　　sec(a) = 1/cos(a) i " E`cki  
_8C)AW,  
　　 z bwa  
j ; T& G,  
双曲函数 x@S -zD8:  
L )#2,k2sa  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 "<CSn'  
a| 3-7$  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Jq?g=RLO  
r)L_dPj u  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) QHEn}ne  
d&$5*D>{b  
　　公式一： j'6s.Qsy  
3u7v'~ufL  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ,<,^-q  
DX/+k&WD  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ((et6RR  
M2I A &/  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Jr3]a}oy  
rc>OY;  
　　tan（kπ＋α）= tanα ]4.GX[CJ  
|-K4E!oR  
　　cot（kπ＋α）= cotα [c6K"g>w!  
mWhqd)  
　　公式二： 5h0'v-C  
. b'A~k  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： "46{%>h  
18!lu $a  
　　sin（π＋α）= -sinα 2o$c}:  
@j]KG,SK  
　　cos（π＋α）= -cosα ,R)Y64q_  
as9b'Si d  
　　tan（π＋α）= tanα qV i2< d  
'*vd7   
　　cot（π＋α）= cotα ~^K4E3.  
~NyhmO$  
　　公式三： +wUVOdL1  
~mN#b.2M  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： _tgH<8*#j  
b_ 8u 1W?  
　　sin（-α）= -sinα XyK;Y  
hs{ Z[=Y  
　　cos（-α）= cosα ;YlT*x,G60  
,PX}"q;"v  
　　tan（-α）= -tanα M!crp%oV  
Q em qm%  
　　cot（-α）= -cotα !6eH3b^  
xnA$4)S  
　　公式四： ?i{J;i%%  
>qw='Wc6  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： >|[r+D"~d  
:rB[-W]QO  
　　sin（π-α）= sinα =8*6<Rsac  
Q%3+4 .hJ9  
　　cos（π-α）= -cosα >D/rdiI  
aP6V8;esn  
　　tan（π-α）= -tanα p+6kJt8  
l ;uPP  
　　cot（π-α）= -cotα }b)Ix!~7K  
00'n-/_  
　　公式五： }Kpd(  
wS_x!t5]  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： jQdG5"  
%}7W#  
　　sin（2π-α）= -sinα Mg$'THn(  
g%.#qcgu  
　　cos（2π-α）= cosα 7#-!_GS7  
N0z > RC t  
　　tan（2π-α）= -tanα 0:J{p  
N`K,_fF  
　　cot（2π-α）= -cotα .7ufRFBE,4  
Hg v+ H~Y  
　　公式六： Cs4-:AC  
7Du}w!a  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： x MH{E  
b[h7:?157  
　　sin（π/2+α）= cosα n1SIJ_t1  
p%)[z}:  
　　cos（π/2+α）= -sinα QQb |x  
\fi:~2k  
　　tan（π/2+α）= -cotα /ed04:rQv'  
uR8].K9i  
　　cot（π/2+α）= -tanα (_ "M$F   
L~e :R  
　　sin（π/2-α）= cosα `C<c.MtT  
x]Sk[$2^  
　　cos（π/2-α）= sinα NmP6]HdQL  
H& 9De*  
　　tan（π/2-α）= cotα 'pX\gX  
`+% m&'  
　　cot（π/2-α）= tanα :; vVM":2w  
zSPv9Y%  
　　sin（3π/2+α）= -cosα w9*Zc H ^  
Q4INCW{f  
　　cos（3π/2+α）= sinα C}Y)3q]~  
8JF |}v{  
　　tan（3π/2+α）= -cotα yQs*|:]  
*[n;8c^  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 93oi:~0GFQ  
3ol }0  
　　sin（3π/2-α）= -cosα _Z/s|A'  
2& 7GhZ:1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα dG^}Ip|w>j  
B1ei9`a>LA  
　　tan（3π/2-α）= cotα gVr;.EVvK  
}:i<'&+B  
　　cot（3π/2-α）= tanα ],m{5dm  
Q\xB2Q/<%  
　　(以上k∈Z) :IN.J$ef  
DzHUP9x  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Wu <8f|  
Up|Tm!'  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = USRDCb$^/  
RG*YlD  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } xp1oG=l0K  
F3Cy,Pq/  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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