日历

2025 - 1
日 一 二 三 四 五 六
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
«月» 2025 - 1 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 SNC /%  
W#% cs A  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4?f#rQ"A#  
>+G%D}JOa  
　　1、三角函数本质： :+<Y4N`Y|  
0x#a s  
　　三角函数的本质来源于定义 &:i@u&.9  
QZ}XAm_4O  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 {o'a\u  
j-K`}vp  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 N EUw4  
M.Xd&"  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： \* >GE -  
4Yp$X{4{  
　　推导： Aj[(%jA  
<p^V2^K  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 V4I=0IL  
&S007|wo  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Ro~^(_`  
bzhgr  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 4sZ&W@qi  
I> M E86Y  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1[i2:y|  
vbA'^k t  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） {~-P-lZyU  
/Q yO3|&5  
　　[1] EOp|&q  
&'r0wW  
　　两角和公式 ^Th:h/Wm  
?. \ ~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 2|,#f*C4  
:Q_V _oF  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ~(YJpo&  
)VY1F<8i  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB -!ZQ}.{W0z  
|Ib #-~k5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ^n)^pTS  
xGbX52_S  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) >rh LI(  
7;Kw1x]n  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) tg~[Tjh&FS  
V%oq }#q  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  5f61m4n=  
/fm8 3[  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) R\4(=Rhi  
g[w5u!1`  
倍角公式 op7:]wO  
1 2C?z R  
　　Sin2A=2SinA•CosA BV5b aOcXI  
TyWGq  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 #_l&:1? i  
]%=S#  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） rT2qP00|n  
[<{*m'H 8G  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） jyp^,U  
Jg(Yk|/3  
三倍角公式 >/]ko 3:  
Q 0J#_Y9  
　　 M'9Ca[  
}g4c]XQ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ePy\ *  
Vu^*7eO+i  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) X9?IB(  
klJ?UvvsC  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) "c2;nh>f  
%#s-1v>AGJ  
三倍角公式推导 H!aia!h  
Yfr~1:'kq  
　　sin3a qAoo|Brlw  
_f$?=  
　　=sin(2a+a) Y 1Rq*Z  
tdF'GUvl  
　　=sin2acosa+cos2asina XX;Fs6sM{  
l-]VM%_O  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <,%Jb_A"  
!o)KsEt  
　　=3sina-4sin³a zKI|$BI  
!8l3NhS!  
　　cos3a #TIhW  
b6H f6  
　　=cos(2a+a) h)r$n%;  
4vAVc!Q17  
　　=cos2acosa-sin2asina 6QWqw?%  
E/=sUi?>  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ,n+ui.*)  
<ND 'D"[  
　　=4cos³a-3cosa sO4[i g  
-B"Wv  
　　sin3a=3sina-4sin³a (m88a6c)q  
?$k{wi  
　　=4sina(3/4-sin²a) Vb;]#Q  
<=fQmCe  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 6$nL5?s  
)FFNe49  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) >5,PDbk  
6"#H&u|bk  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) sWGU_Od  
ksN6M*/%  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 6)}{<.!  
uxWH2`  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) _'!C[c<;  
kul]_NMb7~  
　　cos3a=4cos³a-3cosa AJ;Wi| q  
P(:{'5^A,  
　　=4cosa(cos²a-3/4) [^CxFiy\#a  
.-E!MV  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] H>X*s u  
\ZR\Zr;4  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) syC0d@NG  
$< #vcb:E  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) wI+?a1y4r  
b!y40#  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} QaCfplsuL  
`Mc)Eehq  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) L%ulBFe~|  
OF,lNO@  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 'i5P|[J  
,{cjj! IW  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] f[ JY`=  
N>~X0W5  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) {c/-M%XG3  
J0<jq`R  
　　上述两式相比可得 >#{]+7Y,>  
lTo!C  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) R5^;a/}u  
h4o6r6eG  
半角公式 8c#9C!8g  
l$/L;I<R  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 1#4^jp  
B[ =;W_&K  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. S`^0>` ?-"  
r4+{Hrq]a  
和差化积 * up]e  
0,wzUy  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *aN+%,B  
2|4& e='  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] nP::=JNf  
*<EtO1yD  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?%O5Y 8@  
5N89  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {u% ']&^  
50>J([|  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 2dRf/}2A  
BU,Y yh2a  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) P^ zR;JD  
.]H1g\\ "  
积化和差 m&gyI1&  
LxHH~j  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] AGU W   
t3{fvc:IG  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 4FQV.h9L  
@qm-+jL  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] zh y,j4#NR  
u6m.~~L[u  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ega.'SRA  
hQzBw}  
诱导公式 Et-+EOvZ  
">>F D  
　　sin(-α) = -sinα 4)oT-RL[  
|TtOz^  
　　cos(-α) = cosα 8 'D^}AY>  
L|D#*{oe  
　　sin(π/2-α) = cosα gae/'pIl  
6W]BOm?XD  
　　cos(π/2-α) = sinα Hz)W(aX  
j-'O\vE  
　　sin(π/2+α) = cosα mpC}sFfeCU  
ri" S(1wJ  
　　cos(π/2+α) = -sinα !+22LJPA  
jO**#pLE5~  
　　sin(π-α) = sinα L4tM1)=2  
 MO zno  
　　cos(π-α) = -cosα G>< hxs%  
b8hwK5bnM#  
　　sin(π+α) = -sinα , P#e(MD  
3~~NrN s  
　　cos(π+α) = -cosα vrymcQ{:B  
5" +Q/U5[  
　　tanA= sinA/cosA s<9bp{o  
lvQ +h 7  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα /( |1Nv7  
{E"%  
　　tan（π/2－α）＝cotα Yz0e9C&o  
5{gF'/w  
　　tan（π－α）＝－tanα gzH`K!'?`  
=+uxbeLA  
　　tan（π＋α）＝tanα =h..%zg  
l /CR!%c5  
万能公式 i(l_:c B8  
W5 <1[P?J1  
　　 onr"+0 {  
6ReBeS  
其它公式 4b%|e @r  
p LpEc65  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 )-4(r@(t{  
qLnM  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 &BH$SR^k4  
MJ`p\  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 o+3oKr9^  
)Y.+)^OaH  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ^KRC\Kh  
<Vy1-*[  
　　对于任意非直角三角形,总有 {43+Ou||F  
-[3-#6  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :Y $-xCR  
s%`w ?A  
　　证: es xF*F'2  
9!\P[2| |O  
　　A+B=π-C S p=81  
T}sjSPh)m  
　　tan(A+B)=tan(π-C) (n-H>i*  
knKIWPn0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) )ts&+!&:D\  
rl'4 8)  
　　整理可得 2%^lh@>Xq  
]{]:04  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC U ai&Sz  
gVE8.6J2,  
　　得证 >EEXVwNf,  
Fn7oeM0~  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 >ha"Xz  
:' 6>::[l  
其他非重点三角函数 z]X U(  
F O 'L+z  
　　csc(a) = 1/sin(a) J <tv[/K  
pSOT^zx/LE  
　　sec(a) = 1/cos(a) >l`Zf =  
NQ3+&d8(^  
　　 [ <3*m mF  
@j s  
双曲函数  y2C/0<  
Gy~YL0nL  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 r>v'm3nW  
D_knz(  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 7ij\ 6Nci  
lOp0oAkG{  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) s%j ;!g`m?  
8[l3(l?  
　　公式一： }N5XFvG  
jAs{.n"+  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： "Jhh`l4  
re&I^N.3  
　　sin（2kπ＋α）= sinα V!-F!q  
4Fx^4s -  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ;[ynF  
.p b'tBr  
　　tan（kπ＋α）= tanα vj?'t7 5  
8[ xmX)8  
　　cot（kπ＋α）= cotα !s29(\ZI  
@/ki7RA ;  
　　公式二： SEH2pV&  
4 :#@\xORB  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： HY#":.  
R HK~6K4  
　　sin（π＋α）= -sinα  'H_U*  
) PXTsT  
　　cos（π＋α）= -cosα g Up\R 2  
:v3's!|sa  
　　tan（π＋α）= tanα X?#,ena~  
kW^DupEnb  
　　cot（π＋α）= cotα HO_[L?o  
RtC`W?Kvnv  
　　公式三： Y .rU q  
,%mxmgs  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： j#rDd  
/B9I1%_>  
　　sin（-α）= -sinα =b-G*<U  
I2~}/  
　　cos（-α）= cosα JL`B^  
YpyKLle  
　　tan（-α）= -tanα cg1GZAv  
hAsAP{:  
　　cot（-α）= -cotα Gq9|(||A  
DO97x]BS  
　　公式四： N2et"fxz  
&gelGa+  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： KSXv!}  
o@\BE.3{`&  
　　sin（π-α）= sinα o/$=7;  
9xCqu)le  
　　cos（π-α）= -cosα 'o W';yT  
(Ip FL3  
　　tan（π-α）= -tanα ym#+m!?[  
F3A<wY  
　　cot（π-α）= -cotα > 7md^; R  
P.UdcGE  
　　公式五： J}P`z$  
E7ryi_  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： .Y?c.koH  
zR94-^V%f  
　　sin（2π-α）= -sinα k/@$ArZ  
{O6lTBTj  
　　cos（2π-α）= cosα T9 'i35OT  
#3vp[ek4Y  
　　tan（2π-α）= -tanα S)$=`_2  
2BY`Q =0  
　　cot（2π-α）= -cotα 0, --  
I>S&AIFc:  
　　公式六： ev\l8bcc  
WK3P  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： g3P=F@3  
k~4_1m "  
　　sin（π/2+α）= cosα `Wk* (  
Y"`Qa4b-  
　　cos（π/2+α）= -sinα u4Zw4ia  
\0!8c'j  
　　tan（π/2+α）= -cotα J "C.BK  
c_ r 9  
　　cot（π/2+α）= -tanα P83Z-%m2  
C&Y.&f;`  
　　sin（π/2-α）= cosα ANL>=G  
w1XY{Y{ 9  
　　cos（π/2-α）= sinα "IvTED%,8  
[b /  
　　tan（π/2-α）= cotα &|M,"P;A;  
&;Rvc3=H  
　　cot（π/2-α）= tanα [T /Gh:D=  
T^M2O  
　　sin（3π/2+α）= -cosα P%F6fs  
lH(]  
　　cos（3π/2+α）= sinα ,xdAk)E#&  
WiH0rC]#  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 4()}8?iD)  
YHN>NwgW4  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Z(%f_Vw\|  
z &S  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Q&*e4Z"9  
UWTD/}=y  
　　cos（3π/2-α）= -sinα RX#VV   
yWyhi euE  
　　tan（3π/2-α）= cotα DziBd/:M  
@47$YsUS f  
　　cot（3π/2-α）= tanα oo8~v(JA  
Oi&lD| a  
　　(以上k∈Z) t o ekB  
}~Ac"=f`  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 )m 2 H`Bz  
y"G \Pf2z  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Wln\Jsi  
H996r[^  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Z9vg\1UlbO  
6 ytlh"gF  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15348) |  收藏