三角函数内容规律 bkQ.9PM&
/#m {tM
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 75p8,3
v7,A
1、三角函数本质: $/&%bP
hxH/$/S
三角函数的本质来源于定义 Gs3%eR "
l^>ntM6g
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 NTW)c(>
Lu7cS&;0hi
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ^}u4U*L-
.@6xlBwj~
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: #M)WuS8J
alC: 10lj?
推导: NoWO2r.R
z#3c@C~P
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 4>vAIjJ
\~y6Y$
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Je*rAah1?
vp]cD@7G
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) U!@8kmmp_
-Z8Dx45
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 c`7JqLG>
jU`T)S!
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) K~/cK+
N9Ajbr
[1] Uu_VK';
a]6Km=V
两角和公式 do C eo
~%:kn
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB N:|3TrZ
X7YRf{jT
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB S0<\MZ\_.
M*fdZ:JV
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB *><lQA
*qK. jQ9KS
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB JvzC1Z_
AtU,5O6J"
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) x*a%?
}|* ->v0
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) w"yr'v
]R.i|d><
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) WPrSqJ:g
S.75;84
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Y]7f
Ft#@
alSEk~s_
倍角公式 9M/r,=/r
K&tbei1
Sin2A=2SinA•CosA >fUi0WhB3
Z
TPlseH
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 DAN.v
C&]_HC
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) V*")r[@
Kfth^m4z
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) ,"DO
<H
+qMxr15|
三倍角公式 k+%(OPsI8
;qA |ye\_#
HjXR4A\V
2gJtrFXuX
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) $#
6e
z2L<Y=
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Os}<2YAF
)t@Bb`U
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) T8T{OE6
7k3}5c]k
三倍角公式推导 B s_EaSY
BN6Zm-
sin3a v"\N(c'
)4.7zH
=sin(2a+a) m}4wBI
x>gd8NW-Z
=sin2acosa+cos2asina d}>AG-f}
qfZeA<$I%
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina vUJ}'#x{,
>Y
*M)Z&{
=3sina-4sin³a h8b0Qj#@
Vg(dFZj6
cos3a }Wt
sp-9
!"[L38=
=cos(2a+a) 9WGErH }L
a9lnCit
=cos2acosa-sin2asina I,@=J`4X
MsY g>(h
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa w,!$2I@
3
+.{I=3FA~
=4cos³a-3cosa pwIhJ.BL1
}+j$c4
sin3a=3sina-4sin³a (JANTTk
c4hAk|
=4sina(3/4-sin²a) 9pk3ATO
n`-o-dOsSD
=4sina[(√3/2)²-sin²a] 9#4tw-L
MWWtq^9|f
=4sina(sin²60°-sin²a) Q21yhX<p
)5lO :h
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) WztmZ)
#TW6oPbx
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] tw{&lK)0P
]l^`rxx
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?sHjk/
0}R ,rcBc
cos3a=4cos³a-3cosa &DU2d=mw
.ai[YfVC-
=4cosa(cos²a-3/4) +mT"\V,@
BUiH*Vp e_
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2 (47b|Le
`]7T]Y/h
=4cosa(cos²a-cos²30°) 3o,)C5\B/Q
At}=V?4Ks
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 't.A
(;}
.YEAIJ1:A
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} gY:V<5uk
L/Ro^"l?x
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) |6&dq(FV>
AeQo6XiGs
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }2,
G9&P
?x 1P#``nu
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 9>X'S2@
H7qa7=
[?
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) o1XQ+'7`
9iAV;-p"9
上述两式相比可得 #06'W(
5})~rP T
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Lc3,Al2(
Ln0DDCbc!
半角公式 P<=&B/))h
IkZmeTn k\
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); '):e
[p~6
b=4V,q
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. &B6-&{%Zb
T`?t5e;|
和差化积 \Y8lOkH;"
FN6.OwjHYh
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] E|3gz
+-l-x
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +j'jwm8
{6x !B?
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .CZ9M`
s'p&VV}
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ?qvC?:2zj
`DC*8!'
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) o8'm?^_
A[hjN'X
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) `xaf$
{#Tv<iXi)
积化和差 _K L9
xk"d3V'Dv
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] m`^/N~FW
0C\I&&KB'
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Zu'?~%Gw
o?{W/>4:i
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] *4Z9@ LW
aCaEJo\G
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %*biiIV%
=aHeOGd
诱导公式 rwv"rM=V
k$[Q/|]
sin(-α) = -sinα A r/_Rc
)\]f :~\
cos(-α) = cosα EtpnpD
|t^#RU
sin(π/2-α) = cosα :/d2+y1l
/g3No@Np}
cos(π/2-α) = sinα yHK .koNQ
q)7>($
sin(π/2+α) = cosα ``@ )YA
p6p(QM)
cos(π/2+α) = -sinα +NU.ZZ
f:
)%k Zm>'
sin(π-α) = sinα s$t?9!F[
ivmT\,
cos(π-α) = -cosα a:y]pjS6
_*Q@b i|
sin(π+α) = -sinα ?BI7Kh
`Q
$rEoM{
cos(π+α) = -cosα 3[17I ]S;
,XCXr}N
tanA= sinA/cosA ,GNs]y?,
0M}^Pj&JL
tan(π/2+α)=-cotα _ym|c<
TRl={5$L
tan(π/2-α)=cotα +>/YC5I
/ko1=
tan(π-α)=-tanα cNg'{*-
#T=D)9
tan(π+α)=tanα Cn9s:tY
UL`<F-h.
万能公式 NbJ^;"x0
r7T"9 e-
Mnc6:
QF .P*+ll
其它公式 Zyhgn+[g
#~
*0R?~
(sinα)^2+(cosα)^2=1 8]^t7
-M|cxirK
1+(tanα)^2=(secα)^2 *^Y*u/P
%(FmD2k
1+(cotα)^2=(cscα)^2 wm/cx{z
DL<Eq
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 5b)-"[
,Y6:
Z^
对于任意非直角三角形,总有 AGi8*sg\
65M^ t"\)b
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC bH7{t/wD
`G_<S
*)d
证: _mE-C@
R`& |