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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 bkQ.9PM&  
/#m {tM  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 75p8,3  
v7 ,A  
  1、三角函数本质: $/&%bP  
hxH/$/S  
  三角函数的本质来源于定义 Gs3%eR"  
l ^>ntM6g  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 NTW)c(>  
Lu7cS&;0hi  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ^}u4U*L-  
.@6xlBwj~  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: #M)WuS8J  
alC: 10lj?  
  推导: NoWO2r.R  
z#3c@C~P  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 4>vAIjJ  
\~y6Y$  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Je*rAah1?  
vp]cD@7G  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) U!@8kmmp_  
-Z 8Dx45  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 c`7JqLG>  
jU`T)S!  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) K~/cK+  
N9Ajbr  
  [1] Uu_VK';  
a]6Km=V  
  两角和公式 do Ceo  
~%:kn  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB N:|3TrZ  
X7YRf{jT  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  S0<\MZ\_.  
M*fdZ:JV  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB *><lQA  
*qK.jQ9KS  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB JvzC1Z_  
AtU,5O6J"  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) x*a%?  
}|* ->v0  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) w"yr' v  
]R.i|d><  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  WPrSqJ:g  
S.75;84  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Y]7f Ft#@  
alSEk~s_  
倍角公式 9M/r,=/r  
K&tb ei1  
  Sin2A=2SinA•CosA >fUi0WhB3  
Z TPlseH  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 DAN.v  
 C&]_HC  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) V*" )r[@  
Kfth^m4z  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) ,"DO  <H  
+qMxr15|  
三倍角公式 k+%(OPsI8  
;qA |ye\_#  
   HjXR4A\V  
2gJtrFXuX  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) $# 6e  
z2L<Y=  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Os}<2YAF  
)t@Bb`U  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) T8T{OE6  
7k3}5c]k  
三倍角公式推导 B s_EaSY  
BN6Zm-  
  sin3a v"\N(c'  
)4.7zH  
  =sin(2a+a) m}4wBI  
x> gd8NW-Z  
  =sin2acosa+cos2asina d}>AG-f}  
qfZeA<$I%  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina vUJ}'#x{,  
>Y *M)Z&{  
  =3sina-4sin³a h8b0Qj#@  
Vg(dFZj6  
  cos3a }Wt sp-9  
!"[L38=  
  =cos(2a+a) 9WGErH }L  
a9lnCit  
  =cos2acosa-sin2asina I,@=J`4X  
MsYg>(h  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa w,!$2I@ 3  
+.{I=3FA~  
  =4cos³a-3cosa pwIhJ.BL1  
}+j$c4  
  sin3a=3sina-4sin³a (JANTTk  
c4hAk|  
  =4sina(3/4-sin²a) 9pk3ATO  
n`-o-dOsSD  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 9#4tw-L  
MWWtq^9|f  
  =4sina(sin²60°-sin²a) Q 21yhX<p  
)5lO :h  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) WztmZ)  
#TW6oPbx  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] tw{&lK)0P  
]l^`rxx  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ?sHjk/  
0}R,rcBc  
  cos3a=4cos³a-3cosa &DU2d=mw  
.ai[YfVC-  
  =4cosa(cos²a-3/4) +mT"\V,@  
BUiH*Vp e_  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2 (47b|Le  
`]7T]Y/h  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) 3o,)C5\B/Q  
At}=V?4Ks  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 't.A (;}  
.YEAIJ1:A  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} gY:V<5uk  
L/Ro^"l?x  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) |6&dq(FV>  
AeQo6XiGs  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }2, G9&P  
?x 1P#``nu  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 9>X'S2@  
H7qa7= [?  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) o1XQ+'7`  
9iAV;-p"9  
  上述两式相比可得 #06'W(  
5})~rP T  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Lc3,Al2(  
Ln0DDCbc!  
半角公式 P<=&B/))h  
IkZmeTn k\  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); '):e [p~6  
b=4V,q  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. &B6-&{%Zb  
T`?t5e;|  
和差化积 \Y8lOkH;"  
FN6.OwjHYh  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] E|3gz  
+-l-x  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +j'j wm8  
{6x !B?  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .CZ 9M`  
s'p&VV}  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ?qvC?:2zj  
`DC*8!'  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) o8'm?^_  
A[hjN'X  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) `xaf$  
{#Tv<iXi)  
积化和差 _ K L9  
xk"d3V'Dv  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] m`^/N~FW  
0C\I&&KB'  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Zu'?~%Gw  
o?{W/>4:i  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] *4Z9@ LW  
aCaEJo\G  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %*biiIV%  
=aHeOGd  
诱导公式 rwv"rM=V  
k$[Q/|]  
  sin(-α) = -sinα A r/_Rc  
)\]f :~\  
  cos(-α) = cosα EtpnpD  
|t^#RU  
  sin(π/2-α) = cosα :/d2+ y1l  
/g3No@Np}  
  cos(π/2-α) = sinα yHK .koNQ  
q)7>($  
  sin(π/2+α) = cosα ``@ )YA  
p6p(QM)  
  cos(π/2+α) = -sinα +NU.ZZ f:  
)%kZm>'  
  sin(π-α) = sinα s$t?9!F[  
ivmT\,  
  cos(π-α) = -cosα a:y]pjS6  
_*Q@b i|  
  sin(π+α) = -sinα ? BI7Kh  
`Q $rEoM{  
  cos(π+α) = -cosα 3[17I]S;  
,XCXr}N  
  tanA= sinA/cosA ,GNs]y?,  
0M}^Pj&JL  
  tan(π/2+α)=-cotα _ym|c<  
TRl={5$L  
  tan(π/2-α)=cotα +>/YC5I  
 /ko1=  
  tan(π-α)=-tanα cNg'{*-  
#T=D)9  
  tan(π+α)=tanα Cn9s:tY  
UL`<F-h.  
万能公式 NbJ^;"x0  
r7T"9 e-  
   Mnc6:  
QF.P*+ll  
其它公式 Zyhgn+[g  
#~ *0R?~  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 8]^t7   
-M|cxirK  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 *^Y*u/P  
%(FmD2k  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 wm/cx{z  
DL<Eq  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 5b)-"[  
,Y6: Z^  
  对于任意非直角三角形,总有 AGi 8*sg\  
65M^ t"\)b  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC bH7{t/wD  
`G_<S *)d  
  证: _ mE-C@  
R`&[pW4[  
  A+B=π-C 5!PBDC7  
' 0.qD-%?  
  tan(A+B)=tan(π-C) Gi{;5S\2#  
S/ry_Oc  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) >xhE%V?  
TC|z;&u!  
  整理可得 gA} * -*D  
5U](>1?h"  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC D)j" X-  
||EuS\j3-  
  得证 Tvi_zgs  
Oe5'7s,+  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 N,K9:_M  
:.#=K_4<a  
其他非重点三角函数 M.JzR."^  
'lX11Kry  
  csc(a) = 1/sin(a) !sfVl  
~h )E@B v  
  sec(a) = 1/cos(a) zFVgK y  
yJi*mJG[  
   D`[A&]v-}  
q'gX6P  
双曲函数 pZbh!3D%8  
fDEaF@P,  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 BY\ !EA  
|xRF D.-  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 2rEI`  
O<gz-ucV/  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ]7'"D'Q  
re &1,=hB  
  公式一: 7km,t1S(U  
6t9~()"(  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ZmXjR_H!OZ  
y#%. y+!?  
  sin(2kπ+α)= sinα |jAp86fs  
+QUPk|1Ttn  
  cos(2kπ+α)= cosα Y91 :~r  
b9`&+K  
  tan(kπ+α)= tanα aoFT.oo\G  
zD{LlP 6  
  cot(kπ+α)= cotα _Fp?   
U xi tp  
  公式二: (sxn  
t/JD5+  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: {m+YIrXHl  
XW }> \[f  
  sin(π+α)= -sinα "H0?Ys  
r"(mPhAj6  
  cos(π+α)= -cosα d,&U  
\f'.KuRu  
  tan(π+α)= tanα f}9B> Hj  
),YCR-  
  cot(π+α)= cotα =Q$i8kCj  
*q.s *  
  公式三: :Iv7SbCM  
KF<hG9nd  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: WE {7's  
]*,&N/}e@K  
  sin(-α)= -sinα U{<WlfQ  
%E%}IO2tY  
  cos(-α)= cosα  +qh<sL  
 #f {z  
  tan(-α)= -tanα G|r| iNZDb  
)+30Atr}l  
  cot(-α)= -cotα 0F>7]wmWbz  
]@WSE+5y;>  
  公式四:  $X`X  
dM ivW  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: er@?=1mD  
t{^LB<la  
  sin(π-α)= sinα WD?wQ> ,m  
ay5t1HxSS  
  cos(π-α)= -cosα 7f45 MO"  
:@ kL{v9  
  tan(π-α)= -tanα *#k^=`  
h#^VK6jE  
  cot(π-α)= -cotα *]GeI 8  
JO i.po}  
  公式五: 67w9 X/;_  
JL&{|MIm\M  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: w]| okv  
EQ^oIoXLT8  
  sin(2π-α)= -sinα c<)=BOg  
$|G !1C6Y  
  cos(2π-α)= cosα u>ZMSCc  
D&c<<Tu  
  tan(2π-α)= -tanα gGJY[_\  
g<Mb}A<C  
  cot(2π-α)= -cotα m}tNlA;L  
&4(^L6gn0S  
  公式六: e/}\Tv]6_  
sp\u(E  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: CgXI(lY,+  
6fCztQrd  
  sin(π/2+α)= cosα s Y#q9]q6  
\ARX p  
  cos(π/2+α)= -sinα UE1u>d$B  
' ;6ny  
  tan(π/2+α)= -cotα e~O^C4#:U  
@,^*}k]7!  
  cot(π/2+α)= -tanα }/_N@ M+  
)MJ.S `^  
  sin(π/2-α)= cosα P6tz"at  
C1k. 8,x  
  cos(π/2-α)= sinα <o.H.R&hE  
Gpk z^  
  tan(π/2-α)= cotα >n32yAW  
dVQxd;\E  
  cot(π/2-α)= tanα * YZ'@m~  
dn>z f;8L  
  sin(3π/2+α)= -cosα u?|VFX\  
<cpyk  
  cos(3π/2+α)= sinα } s,pFM%=  
o;;(-9g5n  
  tan(3π/2+α)= -cotα X:-o2x}3X  
>D-Zjl;  
  cot(3π/2+α)= -tanα ["H'g1|VZ  
i<)#mFM`  
  sin(3π/2-α)= -cosα }p[@ S3  
x#aW;/rc[  
  cos(3π/2-α)= -sinα {<e;CqW0  
X.!*%8,TV  
  tan(3π/2-α)= cotα g`pU] Y^  
; S(fk<  
  cot(3π/2-α)= tanα %qg^  
2I90%IUJ  
  (以上k∈Z) ' rTq2  
ktl8EBfk  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 nE i[X@1?7  
q8iHK`  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = WVhYRz<&  
xPX,d9T^Sr  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Z6BUT o2)  
{icpW#  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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